PROPOSICIONES
Afirmación a la cual le podemos asignar un valor de verdad (verdadero ó falso), pero no ambos valores.
Podemos encontrar proposiciones atómicas o moleculares.
ATÓMICAS: Son las proposiciones de forma más simples, pues no tienen términos de enlace.
MOLECULARES: Son la unión de dos o más proposiciones atómicas, por medio de términos de enlace.
TÉRMINOS DE ENLACE:
Negación= ¬
Negación= ¬
1. ¬A
Disjunción= O = V
1. A V B
Conjunción= Y = Λ
1. A Λ B
Condicional= Sí... Entonces = Antecedente → Consecuente
1. A → B
Bicondicional= Sí... Solo... Sí = ↔
1. A ↔ B
INFERENCIA LÓGICA
MODUS PONENDO PONENS (MPP)
Obligatoriamente una de las premisas debe llevar un condicional y que la otra premisa sea el antecedente de este condicional, para así concluir el consecuente del mismo condicional.
1. A
2. A → B
--------------
3. B MPP 1-2
MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT)
Obligatoriamente una de las premisas debe llevar un condicional y que la otra premisa sea la negación del consecuente de este condicional, para así concluir la negación del antecedente de este condicional.
1. A → B
2. ¬B
---------------
3. B MTT 1-2
DOBLE NEGACIÓN (DN)
Permite pasar de una premisa única a la conclusión.
1. A
---------
2. ¬¬A
MODUS TOLLENDO PONENS (MTP)
Obligatoriamente una de las premisas debe llevar una disjunción, y la otra premisa debe negar una parte de la disyunción, para así concluir de manera afirmativa la otra parte de la disyunción.
1. A V B 1. A V B
2. ¬ B 2. ¬ A
-------------- ---------------
3. A MTP 1-2 3. B MTP 1-2
ADJUNCIÓN(ADJ.)
Son dos premisas verdaderas, de las cuales se puede concluir una adjunción verdadera.
1. A 1. A
2. B 2. B
------------------ -------------------
3. A Λ B ADJ.1-2 3. B Λ A ADJ. 1-2
SIMPLIFICACIÓN DE LA ADJUNCIÓN (SIM.)
Obligatoriamente una de las premisas debe llevar una adjunción y la otra premisa una parte de la adjunción, para así concluir la otra parte de la adjunción.
1. A 1. A Λ B 1. A Λ B
2. A Λ B 2. B -----------
------------- -------------- 2. B SIM. 1
3. B SIM.1-2 3. A SIM. 1-2
DEDUCCIÓN PROPOSICIONAL
Es la utilización de las reglas de inferencia lógica, para demostrar una conclusión de un conjunto de premisas, pues bien se sabe que no se puede ir directamente de las premisas a la conclusión en un solo paso.
Demostrar: A
1. B Λ P P >>>
2. ¬A → ¬R P >>>
3. ¬B V R P >>> CONJUNTO DE
4. ¬(A V B) → R P >>> PREMISAS
5. R Λ P → A Λ B P >>>
6. ¬ A P >>>
-----------------------------------------------------------
7. ¬R MPP 6-2 >>>
8. A V B MTT 7-4 >>>
9. B MTP 8-6 >>>>
10. P SIM. 9-1 >>> REGLAS DE INFERENCIA
11. R MTP 9-3 >>>>
12. R Λ P ADJ. 10-11 >>>
13. A Λ B MPP 12-5 >>>
---------------------------------------------------------------------------
14. A SIM. 13-9 >>>>> CONCLUSIÓN
PARÉNTESIS ()
Indican el agrupamiento de proposiciones moleculares, donde cada agrupación tiene un significado distinto. Solo son necesarios si:
** La Negación es dominante:¬
1. ¬(A Λ B)
2. ¬(A V B)
3. ¬(A → R)
4. ¬(A ↔ R)
** La Disyunción es dominante: V
1. D V (A Λ B)
2. B V (A → R)
3. D V (A ↔ R)
** La Conjunción es dominante: Λ
1. (D V A) Λ B
2. B Λ (A → R)
3. D Λ (A ↔ R)
** La Condicional es dominante: →
1. B → (A → R), Para saber cual de las dos Condicionales es dominante.
LEY DE ADICIÓN (LA)
Indica que si se tiene una proposición cierta, entonces la disyunción de esta proposición y otra proposición cualquiera (no importa si es verdadera o falsa) es cierta.
1. Q P
----------
2. Q V H LA 1
**Demostrar: (x=4 V y≠8) Λ x<3
1. x=y V x<y
2. y=x+4
3. (x<3 V x>5) Λ y=x+4 → y≠8
4. x≠y
5. y=6 V x<y → x<3
-------------------------------------------
6. x<y MTP 4-1
7. y=6 V x<y LA 6
8. x<3 MPP 7-5
9. x<3 V x>5 LA 8
10. (x<3 V x>5) Λ y=x+4 ADJ. 9-2
11. y≠8 MPP 10-3
12. x=4 V y≠8 LA 11
---------------------------------------------------
13. (x=4 V y≠8) Λ x<3 ADJ. 12-8
LEY DEL SILOGISMO HIPOTETICO (SH)
Obligaatoriamente debe llevar dos condicionales, donde el consecuente de uno es el mismo antecedente del otro, para así concluir un condicional con el antecedente y consecuente diferente de las condicionales, es decir con los que sobran.
1. G → P
2. P → F
--------------------
3. G → F SH 1-2
LEY DEL SILOGISMO DISYUNTIVO (SD)
Obligatoriamente debe llevar una disjunción y dos condicionales, donde los dos antecedentes de las condicionales son las preposiciones de la disjunción, para así concluir una disjunción con los consecuentes de las condicionales dadas.
1. G → A
2. P → F
3. G V P
--------------------
3. A → F SD 1-2
LEY DE SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SIM. D)
Solo se puede realizar con las disyunciones, pero siempre y cuando estas tengas dos preposiciones iguales.
1. A V A
-----------
2. A SIM. D 1
LEYES CONMUTATIVAS (LC)
Se aplica solamente a la disjunción y conjunción, pues se sabe que el orden de estas proposiciones atómicas no altera su significado.
1. P V A 1. D Λ R
--------------- ----------------
2. A V P LC 1 2. R Λ D LC 1
LEYES DE MORGAN (LM)
Se aplica a las disyuntivas y las conjunciones, donde si es una disyuncion se cambia por una conjuncion y viseversa, pero cada propocicion atomica se niega y finalmente se niega toda la premisa.
1. ¬A V ¬B_ P
2. ¬(A Λ B) MORGAN
PROPOSICIONES BICONDICIONALES (LB)
Es una union de dos proposiciones por medio de una con dos sentidos opuestos (↔), tiene la misma fuerza que dos condicionales, de todas las premisas esta es la mas fuerte, pierde fuerza cuando tiene dos parentesis que lo encierran; de elllos se concige una condicionl como resultado, donde las organizamos como las necesitemos.
1. P ↔ Q___ P 1. P ↔ Q P
2. P → Q LB 2. Q → P LB
1. P → Q P 1. ____ P ↔ Q_____ P
2. Q → P P 2. (P → Q) Λ (Q → P) LB
3. P ↔ Q LB
DOBLE NEGACIÓN (DN)
Permite pasar de una premisa única a la conclusión.
1. A
---------
2. ¬¬A
MODUS TOLLENDO PONENS (MTP)
Obligatoriamente una de las premisas debe llevar una disjunción, y la otra premisa debe negar una parte de la disyunción, para así concluir de manera afirmativa la otra parte de la disyunción.
1. A V B 1. A V B
2. ¬ B 2. ¬ A
-------------- ---------------
3. A MTP 1-2 3. B MTP 1-2
ADJUNCIÓN(ADJ.)
Son dos premisas verdaderas, de las cuales se puede concluir una adjunción verdadera.
1. A 1. A
2. B 2. B
------------------ -------------------
3. A Λ B ADJ.1-2 3. B Λ A ADJ. 1-2
SIMPLIFICACIÓN DE LA ADJUNCIÓN (SIM.)
Obligatoriamente una de las premisas debe llevar una adjunción y la otra premisa una parte de la adjunción, para así concluir la otra parte de la adjunción.
1. A 1. A Λ B 1. A Λ B
2. A Λ B 2. B -----------
------------- -------------- 2. B SIM. 1
3. B SIM.1-2 3. A SIM. 1-2
DEDUCCIÓN PROPOSICIONAL
Es la utilización de las reglas de inferencia lógica, para demostrar una conclusión de un conjunto de premisas, pues bien se sabe que no se puede ir directamente de las premisas a la conclusión en un solo paso.
Demostrar: A
1. B Λ P P >>>
2. ¬A → ¬R P >>>
3. ¬B V R P >>> CONJUNTO DE
4. ¬(A V B) → R P >>> PREMISAS
5. R Λ P → A Λ B P >>>
6. ¬ A P >>>
-----------------------------------------------------------
7. ¬R MPP 6-2 >>>
8. A V B MTT 7-4 >>>
9. B MTP 8-6 >>>>
10. P SIM. 9-1 >>> REGLAS DE INFERENCIA
11. R MTP 9-3 >>>>
12. R Λ P ADJ. 10-11 >>>
13. A Λ B MPP 12-5 >>>
---------------------------------------------------------------------------
14. A SIM. 13-9 >>>>> CONCLUSIÓN
PARÉNTESIS ()
Indican el agrupamiento de proposiciones moleculares, donde cada agrupación tiene un significado distinto. Solo son necesarios si:
** La Negación es dominante:¬
1. ¬(A Λ B)
2. ¬(A V B)
3. ¬(A → R)
4. ¬(A ↔ R)
** La Disyunción es dominante: V
1. D V (A Λ B)
2. B V (A → R)
3. D V (A ↔ R)
** La Conjunción es dominante: Λ
1. (D V A) Λ B
2. B Λ (A → R)
3. D Λ (A ↔ R)
** La Condicional es dominante: →
1. B → (A → R), Para saber cual de las dos Condicionales es dominante.
LEY DE ADICIÓN (LA)
Indica que si se tiene una proposición cierta, entonces la disyunción de esta proposición y otra proposición cualquiera (no importa si es verdadera o falsa) es cierta.
1. Q P
----------
2. Q V H LA 1
**Demostrar: (x=4 V y≠8) Λ x<3
1. x=y V x<y
2. y=x+4
3. (x<3 V x>5) Λ y=x+4 → y≠8
4. x≠y
5. y=6 V x<y → x<3
-------------------------------------------
6. x<y MTP 4-1
7. y=6 V x<y LA 6
8. x<3 MPP 7-5
9. x<3 V x>5 LA 8
10. (x<3 V x>5) Λ y=x+4 ADJ. 9-2
11. y≠8 MPP 10-3
12. x=4 V y≠8 LA 11
---------------------------------------------------
13. (x=4 V y≠8) Λ x<3 ADJ. 12-8
LEY DEL SILOGISMO HIPOTETICO (SH)
Obligaatoriamente debe llevar dos condicionales, donde el consecuente de uno es el mismo antecedente del otro, para así concluir un condicional con el antecedente y consecuente diferente de las condicionales, es decir con los que sobran.
1. G → P
2. P → F
--------------------
3. G → F SH 1-2
LEY DEL SILOGISMO DISYUNTIVO (SD)
Obligatoriamente debe llevar una disjunción y dos condicionales, donde los dos antecedentes de las condicionales son las preposiciones de la disjunción, para así concluir una disjunción con los consecuentes de las condicionales dadas.
1. G → A
2. P → F
3. G V P
--------------------
3. A → F SD 1-2
LEY DE SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SIM. D)
Solo se puede realizar con las disyunciones, pero siempre y cuando estas tengas dos preposiciones iguales.
1. A V A
-----------
2. A SIM. D 1
LEYES CONMUTATIVAS (LC)
Se aplica solamente a la disjunción y conjunción, pues se sabe que el orden de estas proposiciones atómicas no altera su significado.
1. P V A 1. D Λ R
--------------- ----------------
2. A V P LC 1 2. R Λ D LC 1
LEYES DE MORGAN (LM)
Se aplica a las disyuntivas y las conjunciones, donde si es una disyuncion se cambia por una conjuncion y viseversa, pero cada propocicion atomica se niega y finalmente se niega toda la premisa.
1. ¬A V ¬B_ P
2. ¬(A Λ B) MORGAN
PROPOSICIONES BICONDICIONALES (LB)
Es una union de dos proposiciones por medio de una con dos sentidos opuestos (↔), tiene la misma fuerza que dos condicionales, de todas las premisas esta es la mas fuerte, pierde fuerza cuando tiene dos parentesis que lo encierran; de elllos se concige una condicionl como resultado, donde las organizamos como las necesitemos.
1. P ↔ Q___ P 1. P ↔ Q P
2. P → Q LB 2. Q → P LB
1. P → Q P 1. ____ P ↔ Q_____ P
2. Q → P P 2. (P → Q) Λ (Q → P) LB
3. P ↔ Q LB
